本周共读的是《庞加莱猜想: 追寻宇宙的形状》。本书不仅生动讲述了人类破解“庞加莱猜想”的百年历程，还呈现佩雷尔曼等数学家的思考方式与人生态度，并借此为读者展示了那个奇妙、纯粹的数学世界的一隅，让更多的人了解到数学研究者的热情与数学的魅力。

“庞加莱猜想” 展现了数学与数学家的独特魅力。亨利·庞加莱被誉为与列奥纳多·达·芬奇、艾萨克·牛顿齐名的“知识巨人”，他于1854年出生在法国东北部的南锡。他的父亲莱昂·庞加莱（LeonPoicaré）是南锡大学的医学教授，工作非常忙，教养庞加莱的重担就落在了母亲尤金妮女士的肩上。1862年，庞加莱进入南锡中学（现亨利·庞加莱高中）读书。从当年的成绩单上可以看出，他几乎在所有科目上都名列前茅，只有音乐成绩不太理想，体育成绩也只能算“中等”。

亨利·庞加莱（HenriPoincaré，1854—1912）

学生时期的庞加莱

学生时期的庞加莱曾给母亲写过一封风格非常特别的信，这封信至今仍然被完整地保存下来。他在这封信里写道：“妈妈，这是我感冒症状的变化：一开始是鼻塞，接着越来越严重，好不容易缓解了，结果又开始胸痛。”而在这段文字下方，他竟然用图表将自己感冒症状的变化形象地描绘出来。

 庞加莱寄给母亲的信，他在信中用图来描述自己感冒症状的变化

可能无论什么事情，庞加莱都习惯用数学化的思维去思考，在他写给朋友的很多信里，都会附带这类独特的表格和示意图。

庞加莱猜想——追寻“形状之谜”

庞加莱在1904年发表论文《对位置分析学的第五次补充》，“庞加莱猜想”的原文便收录于此。论文名字中的“位置分析学”（AnalysisSitus）是庞加莱开创的数学分支，如今这个领域被称为“拓扑学”（Topology）。

《庞加菜猜想》一书带我们来到“庞加莱猜想的特色课程”——2007年6月，庞加莱的家乡、法国洛林地区的小城南锡，在一所以“亨利·庞加莱”命名的高中，第十一大学的荣休教授瓦伦丁·波埃纳鲁博士（时年 75 岁），正在给孩子上课。波埃纳鲁博士一边说一边拿出了一根红色绳子，他用这根绳子将投影到墙上的宇宙图片圈住。

“现在，请想象一下，有人带着足够长的绳子，从地球出发进行一场环绕宇宙的旅行。假设这个人完成旅程，平安返回地球。此时，围绕宇宙一圈的绳子，就像这样，是否一定能够收回到这个人的手中？”波埃纳鲁博士边说边演示，将刚才铺开的绳子重新收回到自己手中。“如果绳子一定能被收回来，那么我们可以说宇宙是球形的。这就是今天我们所说的‘庞加莱猜想’。”

 波埃纳鲁博士用绳子圈住投影到墙面上的宇宙图片

人类过去是如何看待“地球的形状”的？这要说到16世纪的葡萄牙和葡萄牙探险家费迪南德·麦哲伦。1519年，麦哲伦率领一支由五艘船组成的船队，在历时三年的航行后，五艘船中还是有一艘船最终成功从东方回到了出发地葡萄牙。安东尼奥·皮加费塔（AntonioPigafetta）是当时完成这一壮举的船员之一，他在航海日志中写下了这样的话：我们终于成功地环绕世界一周！

“在麦哲伦船队完成环球航行约四百年后，我们的天才科学家亨利·庞加莱却提出了不同的看法，他认为用麦哲伦的方法，根本无法证明地球是球形的。庞加莱是这样考虑的：如果地球不是完美的球形，情况又会怎么样？假如地球存在一个贯穿北极和南极的巨大孔洞，是类似甜甜圈的形状，那么麦哲伦的船队依然可以绕地球一圈，回到出发点。因此，仅凭回到出发点的事实，并不能断言地球是球形的。”

“现在，请大家想一下，在没有飞机和卫星的时代，我们该如何确定地球上是否存在孔洞呢？实际上，庞加莱想出了一个好办法。”波埃纳鲁博士随即拿出了两个地球仪，一个是普通的地球仪，一个是带有孔洞的甜甜圈形状的地球仪。他解释说，有一种方法，无论地球实际上是哪种形状，都可以仅用一根绳子找出答案。

“首先请大家想象一下，你站在海边的一个岬角上，手里拿着一根非常长的绳子。现在，将绳子的一端牢牢固定在岬角上，另一端绑在一艘船上。然后，让这艘船拖着绳子，向远方航行。这艘船环绕地球一周，最终回到出发点。此时，把绑在船上的绳子的一端解下来，同样也绑在岬角上。请大家再想象一下自己的手握住了这根环绕了地球一圈的绳子。当你往回拉绳子时，如果能将绳子全部收回，那么我们就可以说，地球是球形的。庞加莱就是这样思考这个问题的。如果能够把环绕地球一周的绳子全部收回来，那么我们就可以说地球是球形的。如果从地球外部俯瞰地球，这个结论是非常直观的。庞加莱的独到之处在于，即使不从地球外部观察，仅凭一根绳子，也能确认地球是否是球形的！”

“接下来，请大家想象，如果地球是甜甜圈的形状，会发生什么样的情况。再试着想象一下，你手中握着环绕了地球一圈的绳子，现在开始用力往回拉，大家用力！”结果如何？没错，这次绳子无法收回来了。”

从地球外部观察，原因便一目了然。绳子穿过了地球的孔洞，所以，往回拉绳子时，绳子已经套在了环状地球上，无法被收回了。而且，即便是绳子沿着孔洞的洞口边缘环绕一周的情况，绳子也无法被收回。此时，一位同学举手发问：“博士，绳子环绕孔洞边缘一周的情况，我觉得应该可以收得回来吧？”

这个问题显然在波埃纳鲁博士的意料之中。他请一名学生到讲台上，和他一起给大家示范。“现在，我们在甜甜圈形状的地球上进行实验，看能否把绳子收回来。像这样慢慢地把绳子往回拉……大家看，绳子会从地球表面脱离并悬在空中，对吧？这种情况不能算作成功收回了绳子。想要把沿孔洞一圈的绳子收回来，无论如何都会出现绳子脱离地球表面的情况。如果绳子无法始终保持在地球表面，那就不能将其视为调查地球形状的实验了。”

确实，按照实际情况来看，要将摆脱了地球引力进而飘浮在宇宙中的绳子拉回来，这是非常困难的。也就是说，沿地球中心孔洞边缘环绕一周的绳子，是无法被收回的。

“如果能收回绳子，那么地球是球形的；如果收不回绳子，则地球就不是球形的。”庞加莱的方法让我们无须从外部观察地球，仅凭一根绳子，就可以确认地球是否是球形的。数学家的想象力，令人不得不佩服。

 在这种情况下收回绳子，绳子必然会脱离地球表面

宇宙的形状

庞加莱的探索之心并未止步于地球形状的探测，而是扩展到了宇宙形状的研究。 “庞加莱想到的探测宇宙形状的方法，就是使用所谓的‘宇宙火箭’。他在自己的脑海中，想象把一根绳子绑到火箭上，然后让火箭飞向宇宙。假设这艘绑着绳子的火箭在宇宙中持续自由飞行，最终绕宇宙一周并安全返回地球。请大家想象一下，你手中正握着围绕宇宙一周的巨大绳圈。现在，让我们尝试收回这根绳子，大家用力！

“如果这根长长的绳子能完全收回来，那么宇宙的形状是什么样的呢？请想象一下，我们现在能从外部观察宇宙整体（虽然这在现实中是不可能的），如果绳子能完全被收回，那么就与地球实验相同，宇宙也是没有孔洞或裂缝的球形。庞加莱就是这样思考的。“相反，如果绳子被卡住，无法完全收回，那么这意味着宇宙中存在贯穿整个宇宙空间的巨大孔洞。这种情况下就不能说宇宙是球形的，而应该是所谓的甜甜圈形状的。”

庞加莱仅用一根绳子，就可以判断宇宙的形状是球形还是非球形。这一构想的数学表达便是“庞加莱猜想”。1904年，庞加莱将这个猜想抛向了数学界，而证明这一猜想的正确性，整整花费了数学家们一百多年的时间。

为什么说庞加莱猜想是非常困难的问题呢？波埃纳鲁博士认为，该猜想中混杂了两个层次的困难。第一，是“用绳子证明地球是球形的方法”并非理所当然的简单之事。现在，人类已经从外部观察过地球，确认了它是球形的。但庞加莱的非凡之处在于，他在没有从外部观察地球的条件下，找到了确认地球形状的方法。已经熟悉地球形状的现代人，恐怕很难体会到这一构想背后的困难与意义。

第二，我们无法想象“宇宙的形状”。即使凭借现代的科学技术，人类也无法前往宇宙的外部。在这堂课的最后，波埃纳鲁博士在地球仪上画了一只蚂蚁，说道：“地球表面的一只蚂蚁，要想了解地球的形状是非常困难的，因为它无法离开地球。同样，人类无法离开宇宙。但庞加莱认为，即使无法离开宇宙，我们仍然可以找到确认宇宙形状的方法。”

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本书用纪录片特有的叙事方式，生动呈现了破解“庞加莱猜想”的百年历程，描绘了数学这个看似难以接近却充满魅力的奇妙世界，以及数学家们的奇特人生。宇宙有没有尽头？宇宙到底是什么样的形状？人类长年不断追问的谜题，其重大线索却隐藏在困扰了数学界整整一个世纪的难题——庞加莱猜想中。破解这道世纪难题的，是俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼，他因此获得了数学界至高无上的荣誉——菲尔兹奖，但他拒绝了菲尔兹奖以及100万美元的奖金，并从公众视野中彻底消失。这一举动引发了无数猜测。本书适合对数学感兴趣的初高中生及成人阅读，也可作为了解数学、提升数学学习兴趣的科普读物。

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